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[eigen_II] Translation Updating #156

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[eigen_II] Translation Updating #156

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Mandy-Bai Feb 28, 2025
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HumphreyYang Mar 5, 2025
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Expand Up @@ -23,7 +23,7 @@ kernelspec:
!pip install quantecon
```

在本讲座中，我们将从谱理论的基本概念开始。
在本讲座中，我们将从[谱论](https://baike.baidu.com/item/%E8%B0%B1%E8%AE%BA/91543)的基本概念开始。

然后，我们将探讨佩龙-弗罗贝尼乌斯定理，并将其与马尔可夫链和网络的应用联系起来。

Expand All @@ -38,7 +38,7 @@ import quantecon as qe

## 非负矩阵

在经济学中，我们经常处理的矩阵是非负的。非负矩阵具有几个特殊且有用的性质。在本节中，我们将讨论其中的一些性质——特别是非负性与特征值之间的联系。
在经济学中，我们经常遇到非负矩阵。非负矩阵具有几个特殊且有用的性质。在本节中，我们将讨论其中的一些性质——特别是非负性与特征值之间的联系。

一个 $n \times m$ 的矩阵 $A$ 被称为**非负**，如果 $A$ 的每个元素都是非负的，即对于每个 $i,j$，都有 $a_{ij} \geq 0$。我们将此表示为 $A \geq 0$。

Expand All @@ -49,22 +49,26 @@ import quantecon as qe

令 $a^{k}_{ij}$ 为 $A^k$ 的第 $(i,j)$ 个元素。

一个 $n \times n$ 的非负矩阵 $A$ 被称为不可约的，如果 $A + A^2 + A^3 + \cdots \gg 0$，其中 $\gg 0$ 表示 $A$ 的每个元素都严格为正。
一个 $n \times n$ 的非负矩阵 $A$ 如果满足以下条件，则被称为**不可约**的：
存在一个正整数 $k$，使得矩阵 $A + A^2 + \dots + A^k$ 的所有元素都大于零。
我们用 $\gg 0$ 来表示矩阵的所有元素都严格为正。

换句话说，对于每个 $1 \leq i, j \leq n$，存在一个 $k \geq 0$ 使得 $a^{k}_{ij} > 0$。

```{prf:example}
:label: eigen2_ex_irr

以下是一些进一步说明的例子：
我们用以下例子进一步说明：

$$
A = \begin{bmatrix} 0.5 & 0.1 \\
0.2 & 0.2
A =
\begin{bmatrix}
0.5 & 0.1 \\
0.2 & 0.2
\end{bmatrix}
$$

$A$ 是不可约的，因为对于所有的 $(i,j)$，$a_{ij}>0$。
因为对于所有的 $(i,j)$，$a_{ij}>0$， 所以 $A$ 是不可约的。

$$
B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\
Expand All @@ -76,24 +80,24 @@ B^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$

$B$ 是不可约的，因为 $B + B^2$ 是一个全为 1 的矩阵。
因为 $B + B^2$ 是一个全为 1 的矩阵，$B$ 是不可约的。

$$
C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
$$

$C$ 不是不可约的，因为对于所有 $k \geq 0$，$C^k = C$，因此
对于所有 $k \geq 0$，$c^{k}_{12},c^{k}_{21} = 0$。
因为对于所有 $k \geq 0$，$C^k = C$，因此
对于所有 $k \geq 0$，$c^{k}_{12},c^{k}_{21} = 0$， 所以 $C$ 不是不可约的。

```

### 左特征向量

回想一下，我们之前在 {ref}`特征值和特征向量 <la_eigenvalues>` 中讨论过特征向量。

特别地，如果 $v$ 是非零向量，且满足
即，如果 $v$ 是非零向量，且满足

$$
Av = \lambda v
Expand All @@ -105,13 +109,13 @@ $$

为避免混淆，我们之前称为"特征向量"的将被称为"右特征向量"。

左特征向量在接下来的内容中将扮演重要角色，包括在马尔可夫假设下动态模型的随机稳态。
左特征向量在下文中将扮演重要角色，特别是在马尔可夫假设下的动态模型中，它们与随机稳态分布密切相关。

如果 $w$ 是 $A^\top$ 的右特征向量，那么 $w$ 被称为 $A$ 的左特征向量。

换句话说，如果 $w$ 是矩阵 $A$ 的左特征向量，那么 $A^\top w = \lambda w$，其中 $\lambda$ 是与左特征向量 $v$ 相关的特征值。

这暗示了如何计算左特征向量。
这句话解释了如何计算左特征向量。

```{code-cell} ipython3
A = np.array([[3, 2],
Expand Down Expand Up @@ -141,7 +145,7 @@ print(f"右特征向量为: \n {e[:,0]} and {-e[:,1]}\n")
print(f"左特征向量为: \n {ε[:,0]} and {-ε[:,1]}\n")
```

特征值是相同的，而特征向量本身是不同的。
特征值是相同的，而特征向量却是不同的。
（还要注意，我们取的是 {ref}`主特征值 <perron-frobe>` 的特征向量的非负值，这是因为 `eig` 函数会自动对特征向量进行归一化。）

然后我们可以对 $A^\top w = \lambda w$ 进行转置，得到 $w^\top A= \lambda w^\top$。
Expand All @@ -153,9 +157,9 @@ print(f"左特征向量为: \n {ε[:,0]} and {-ε[:,1]}\n")

对于一个非负方阵$A$，当$k \to \infty$时，$A^k$的行为由绝对值最大的特征值控制，通常称为**主特征值**。

对于任何这样的矩阵$A$，佩龙-弗罗贝尼乌斯定理描述了主特征值及其对应特征向量的某些特性。
对于任何这样的矩阵$A$，佩龙-弗罗贝尼乌斯定理（Perron-Frobenius theorem）描述了主特征值及其对应特征向量的某些特性。

```{prf:Theorem} 佩龙-弗罗贝尼乌斯定理
```{prf:Theorem} 佩龙-弗罗贝尼乌斯定理（Perron-Frobenius theorem）
:label: perron-frobenius

如果矩阵$A \geq 0$，那么：
Expand All @@ -170,14 +174,16 @@ print(f"左特征向量为: \n {ε[:,0]} and {-ε[:,1]}\n")
（关于原始矩阵的佩龙-弗罗贝尼乌斯定理的更多内容将在{ref}`下文 <prim_matrices>`中介绍。）
```

（这是该定理的一个相对简单的版本——更多详细信息请参见[这里](https://en.wikipedia.org/wiki/Perron%E2%80%93Frobenius_theorem)）。
我们将在下面看到该定理的应用。
（这是该定理的一个简化版——更详细的版本请参见[这里](https://en.wikipedia.org/wiki/Perron%E2%80%93Frobenius_theorem)）。

我们将在下文中运用该定理。

让我们使用我们之前见过的一个简单[例子](mc_eg1)来建立对这个定理的直觉。
首先我们讨论一个之前见过的简单[例子](mc_eg1)来建立对这个定理的理解。

现在让我们考虑每种情况的例子。

#### 示例：不可约矩阵

考虑以下不可约矩阵$A$：

```{code-cell} ipython3
Expand All @@ -192,7 +198,7 @@ A = np.array([[0, 1, 0],
eig(A)
```

现在我们可以看到佩龙-弗罗贝尼乌斯定理对不可约矩阵$A$的声明成立：
现在我们可以看到，佩龙-弗罗贝尼乌斯定理的结论对于不可约矩阵$A$成立。

1. 主特征值是实数且非负的。
2. 所有其他特征值的绝对值小于或等于主特征值。
Expand All @@ -203,7 +209,7 @@ eig(A)
(prim_matrices)=
### 原始矩阵

我们知道，在现实世界的情况下，很难让一个矩阵处处为正（尽管它们具有良好的性质）。
我们知道，在现实世界的情况下，矩阵很难处处为正（尽管它们具有很好的性质）。

然而，原始矩阵仍然可以在更宽松的定义下给我们提供有用的性质。

Expand All @@ -222,7 +228,7 @@ A = \begin{bmatrix} 0.5 & 0.1 \\
\end{bmatrix}
$$

这里的$A$也是一个原始矩阵，因为对于$k \in \mathbb{N}$，$A^k$处处非负。
这里的$A$也是一个原始矩阵，因为对于$k \in \mathbb{N}$，$A^k$处处为正。

$$
B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\
Expand All @@ -246,14 +252,15 @@ $B$是不可约的，但不是原始矩阵，因为在主对角线或次对角

如果$A$是原始矩阵，那么：

6. 对于$A$的所有不同于$r(A)$的特征值$\lambda$，不等式$|\lambda| \leq r(A)$是**严格的**，并且
6. 对于$A$的所有不同于$r(A)$的特征值$\lambda$，不等式$|\lambda| \leq r(A)$是该不等式**严格成立**，并且

7. 当$v$和$w$被归一化使得$w$和$v$的内积等于1时，我们有：

当$m \rightarrow \infty$时，$r(A)^{-m} A^m$收敛于$v w^{\top}$。矩阵$v w^{\top}$被称为$A$的**佩龙投影**。
```

#### 示例1：原始矩阵

考虑以下原始矩阵$B$：

```{code-cell} ipython3
Expand All @@ -270,7 +277,7 @@ np.linalg.matrix_power(B, 2)
eig(B)
```

现在让我们给出一些例子，看看佩龙-弗罗贝尼乌斯定理的声明是否对原始矩阵$B$成立：
现在让我们给出一些例子，看看佩龙-弗罗贝尼乌斯定理的结论是否对原始矩阵$B$成立：

1. 主特征值是实数且非负的。
2. 所有其他特征值的绝对值严格小于主特征值。
Expand All @@ -289,7 +296,7 @@ def compute_perron_projection(M):

r = np.max(eigval)

# 找出主要（佩龙）特征值的指数
# 找出主（佩龙）特征值的指数
i = np.argmax(eigval)

# 获取佩龙特征向量
Expand Down Expand Up @@ -347,6 +354,7 @@ for M in A1, A2, A3:
```

在非原始矩阵的情况下，不会观察到收敛。

让我们通过一个例子来说明

```{code-cell} ipython3
Expand All @@ -372,11 +380,11 @@ check_convergence(B)
(spec_markov)=
#### 示例2：与马尔可夫链的联系

我们现在准备好将这两节课中使用的语言联系起来。
现在让我们把这两节课中使用的语言联系起来。

原始矩阵既是不可约的，又是非周期的。

因此，佩龙-弗罗贝尼乌斯定理解释了为什么{ref}`伊玛目和寺庙矩阵 <mc_eg3>`和[哈密顿矩阵](https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_matrix)都收敛到一个平稳分布，这就是这两个矩阵的佩龙投影。
因此，佩龙-弗罗贝尼乌斯定理解释了为什么{ref}`Imam 和 Temple 矩阵 <mc_eg3>`和{ref}`汉弥尔顿矩阵<mc_eg2>`都收敛到一个平稳分布，这就是这两个矩阵的佩龙投影。

```{code-cell} ipython3
P = np.array([[0.68, 0.12, 0.20],
Expand Down Expand Up @@ -406,25 +414,23 @@ mc = qe.MarkovChain(P_hamilton)
ψ_star
```

我们还可以验证 Perron-Frobenius 定理暗示的这些随机矩阵的其他性质。

+++
我们还可以验证佩龙-弗罗贝尼乌斯定理给出的这些随机矩阵的其他性质。

另一个例子是收敛间隙和收敛速率之间的关系。
其中一个例子是收敛间隙和收敛速率之间的关系。

在{ref}`练习<mc1_ex_1>`中，我们指出收敛速率由谱间隙决定，即最大特征值和第二大特征值之间的差异。

利用我们在这里学到的知识，可以证明这一点。

请注意，在本讲中我们使用 $\mathbb{1}$ 表示全1向量。

对于具有状态空间 $S$ 和转移矩阵 $P$ 的马尔可夫模型，我们可以将 $P^t$ 写成
对于具有状态空间 $S$ 和转移矩阵 $P$ 的马尔可夫模型$M$，我们可以将 $P^t$ 写成

$$
P^t=\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i^t v_i w_i^{\top}+\mathbb{1} \psi^*,
$$

这在{cite}`sargent2023economic`中得到证明，[这里](https://math.stackexchange.com/questions/2433997/can-all-matrices-be-decomposed-as-product-of-right-and-left-eigenvector)有一个很好的讨论。
这在{cite}`sargent2023economic`中得到证明，[在这里](https://math.stackexchange.com/questions/2433997/can-all-matrices-be-decomposed-as-product-of-right-and-left-eigenvector)也有一个很好的讨论。

在这个公式中，$\lambda_i$ 是 $P$ 的特征值，$v_i$ 和 $w_i$ 分别是对应的右特征向量和左特征向量。

Expand All @@ -441,7 +447,7 @@ $$
这可以用[Gershgorin圆盘定理](https://en.wikipedia.org/wiki/Gershgorin_circle_theorem)来证明，
但这超出了本讲的范围。

因此，根据 Perron-Frobenius 定理的第(6)条陈述，当 $P$ 是原始的时候，对所有 $i<n$，有 $\lambda_i<1$，且 $\lambda_n=1$。
因此，根据佩龙-弗罗贝尼乌斯定理的第(6)条陈述，当 $P$ 是原始的时候，对所有 $i<n$，有 $\lambda_i<1$，且 $\lambda_n=1$。

因此，在取欧几里得范数偏差后，我们得到

Expand All @@ -456,7 +462,8 @@ $$
```{exercise-start} 列昂惕夫投入产出模型
:label: eig_ex1
```
[瓦西里·列昂惕夫](https://en.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief)开发了一个具有$n$个部门生产$n$种不同商品的经济模型，代表了经济不同部门之间的相互依存关系。
[华西里·列昂惕夫](https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%8E%E8%A5%BF%E9%87%8C%C2%B7%E5%88%97%E6%98%82%E6%83%95%E5%A4%AB/11051863)
给出了一个具有$n$个部门生产$n$种不同商品的经济模型，代表了经济不同部门之间的相互依存关系。

在这个模型中，一部分产出在行业内部消耗，其余部分由外部消费者消费。

Expand All @@ -465,9 +472,9 @@ $$
下表描述了产出如何在经济中分配：
| | 总产出 | 农业 | 工业 | 服务业 | 消费者 |
|:----:|:-----:|:----:|:----:|:-----:|:-----:|
| 农业 | $x_1$ |0.3$x_1$|0.2$x_2$|0.3$x_3$| 4 |
| 工业 | $x_2$ |0.2$x_1$|0.4$x_2$|0.3$x_3$| 5 |
|服务业| $x_3$ |0.2$x_1$|0.5$x_2$|0.1$x_3$| 12 |
| 农业 | $x_1$ |0.3 $x_1$|0.2 $x_2$|0.3 $x_3$| 4 |
| 工业 | $x_2$ |0.2 $x_1$|0.4 $x_2$|0.3 $x_3$| 5 |
|服务业| $x_3$ |0.2 $x_1$|0.5 $x_2$|0.1 $x_3$| 12 |

第一行描述了农业的总产出$x_1$是如何分配的

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